你要在下午一時至四時完成科目一至四的功課。如果你 每小時完成一份就能準時完成所有功課，對或錯？ 如果是五月一日至四日呢？如果每天做一份，你能及時 跟功課說再見嗎？ 這些問題背後引伸出更多問題 [1]：為甚麼小時跟日子 的算法會有所不同？我們應怎樣數起？學校教的知識應用 起來永遠不會像想像中簡單 — 顯淺如數算事物也是如此。 要搞清楚這一連串的問題，我們先要回到幼稚園。我 們學會如何從一、二、三……數算物件，亦學會這個數算 過程讓我們知道物件的數量— 不論是鉛筆、房子或是日子。 為了簡化事情，我們為物件標上數字並以此代替數算：六月 的日子被標上數字1 至 30，順理成章地六月就有 30 天 [1]。 然後我們學習減法。老師拿著六枝鉛筆，再把當中四枝 逐枝取走，藉此示範 6 – 4 = 2。減法是算術運算的一種， 指把物件數目改變的動作（「運算」），在上述例子即是取 走鉛筆的動作。現在我們考慮的是稍為不同的概念：兩個數 字之間的間距，這可不是數字本身！在學習數線之後，我們 以由 6 到 2 之間的四個箭頭表示 6 – 4 = 2： 它們清楚表示減法考慮的是由 2 到 6 之間的四個「間 距」，但這次運算其實「碰」到了五個數字：2、3、4、5、6。 四和五之間的分歧就是柵欄錯誤（fencepost error； 註一）了。假設在前往幼稚園的路上你經過一道八米長的籬 笆，當中每兩米豎立了一道籬杆 [2]，那麼籬杆的總數是多 少？你可能不加思索便用除法計算出那裡有四道籬杆，但在 首尾各豎了籬杆的正常籬笆中，籬杆的數目應該是五道。 （你確定那是正常的籬笆嗎？讓我們稍後回到這個問題。） 錯誤出於哪裡？問題中有兩樣東西是你可以數算的：籬 杆之間籬笆的數目，以及籬杆的數目。以除法運算時，你把 籬笆的總長度（八米）除以每段籬笆的長度，那會得出籬笆 有多少段這個數目，但問題問的是籬杆數目而不是籬笆，意 味著解決這些問題時我們必須考慮要數算的是物件還是間 距的數目 [1]。 一旦能分辨出籬笆和籬杆，就很容易發現日常生活中關 於數算的習慣其實充斥著怪誕之處。在樂理中，一個三度是 指相距三個音的音程：C-D-E 是一個三度，E-F-G 也是 [2]， 可是把它們結合時你會得到 C-G，一個五度。換言之，兩個 三度得出一個五度；這就像用兩道籬笆駁成一道更長的籬 笆，數算之下會乍見多出一條「E 柱」。問題的癥結在於三度 和五度理應是指兩個音之間的距離，但卻以當中有多少個 音來命名，即是數算的其實是籬杆而不是籬笆 [3]。 同樣地，籬笆有時也會偽裝成籬杆。慶祝生日時你想紀 念的其實是出生以後活了多少年這個事實 [2, 3]，甚至從日 常用語中也能看出端倪：在你慶祝的第一個生日那時你剛好 一歲。歲數是籬笆，但我們慶祝的是生日，是籬杆。 在原來的問題中，你要完成四份功課，而你要做的是把 四份功課分配在四個時段內完成，所以要考慮的是問題中的 籬笆。在問題的用字上，下午一時、二時……四時等以小時計 的實際上是時間的標記（籬杆），而五月一日、二日……四日 的日子則是時間的間距（籬笆）[4]；前者會給出三小時的間 距，後者則會給出四天的間距。因此你臨急抱佛腳的「趕功 課大計」只能在後者行得通，在前者卻會碰得一臉灰。 這也帶出另一個問題，就是究竟你是由零開始數還是由 一數起 [3]。我們都知道「一樓」在不同國家分別可以指地下 或是地下上面的一層；你有十隻手指，但不少人會忘記如果 比手勢的話你也可以由零的手勢比起，這樣便能數算 11 樣 物件 [3]，但這些大多都只是語言上的習慣。如果你想想，把 一列籬笆逐段標記成 #1、#2……後到底應該如何標記當中 的籬杆，那就更有趣了，因為其中一道籬杆少不免要被標記 為 #0。（如果你把籬笆想成歲數，籬杆想成生日，那其實與 上面生日的例子同出一轍，當中你出生那天正是你的「零歲 生日」。）這就是為甚麼很多關於籬杆和籬笆的問題使人困 惑的根源了。因此，如果你再看一次上面關於八米籬笆的問
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