以下是一個數列：1, 11, 21, 1211, 111221。用中文 （或英文）唸一次，然後猜猜下一個項。 下一個項是：312211。 再下一個是：13112221。 你知道再之後一個項嗎？ 知名數學家 John Conway 的學生曾經叫他猜這道謎 題，但 Conway 沒有成功 [1]。然而答案並不難：第一個項 是 1，對自己唸一次：「一個一」（one 1），那就是 11。唸 一次 11：「兩個一」（two 1’s），所以是 21。唸一次 21：「一 個二，一個一」（one 2 , one 1），1211。唸一次 1211： 「一個一，一個二，兩個一」（one 1 , one 2 , two 1’s）， 111221。由於這個數列是透過朗讀而產生，Conway 稱之 為「audioactive sequence」（像「radioactive」般具「放 射性」，而「audio-」表示與聽力有關）[2, 3]，中文則對應 另一個名字「look-and-say sequence」而常被譯作「外 觀數列」。 這道題目據說源於 1977 年國際數學奧林匹克 [4]。當 Conway 從劍橋數學學生口中得知而一時未能解答後，他 決定把問題改得更難，為甚麼？這其實是數學家解答問題 的標準程序：把問題弄得更困難而更具概括性能有助思考 如何一舉解決問題的所有版本。 使這道問題複雜化的方法明顯就是允許數列從任何數 字開始。Conway 著手解決後其中一樣注意到的是只有數 字 1、2 和 3 是「自然存在」的 [1]；如果想其他數字出現在 數列中，就必須在數列的第一個項加入該數字。因此數字 1 至 3應該內藏著某些「玄機」，如果我們要探究這個問題， 就得專注於這三個數字。 事實上，事情比我們想像的還要巧妙，如果我們把數 列的項都一一寫出，寫到某個位置以後你會發現一些值得 研究的事情。13112221 的下一個項是 11132 | 13211， 然後是 311312 | 11131221，再之後是 1321131112 | 3113112211。留意中間把字串分開的直線，如果我們僅把 前面部分的 11132 取出並當成一個獨立的項的話，之後我 們會得到 311312、1321131112……它們正是原來數列之 後兩個項的前面部分。後面部分的 13211 也是一樣。從這 個項起，字串中的前後部分再不會互相干涉 [1]，Conway 稱這個現象為「分裂」（split）。及後他著手尋找不能分裂 的字串，儘管這樣的字串是無限多的，然而他發現有 92 組 字串既不能分裂，但最終會全數出現在所有可能數列所產 生的項當中（除了22，因為之後所有項都只會是22）[3]。 由於 Conway 實在太掛念在學時讀的化學科，他叫這些字 串「原子」或「元素」，而例如 1113213211 這些稍為複雜、 可以分裂的字串則叫作「化合物」，化合物分裂成元素的過 程就被稱為「聽射性衰變」（audioactive decay）[5]。想 像力夠豐富了吧？ 那甚麼時候會分裂呢？以字串 11132 | 13211 為例， 你可以看見第一部分11132 的結尾數字為 2，不管第二部分 的字串是甚麼，第一部分之後的項都會以 2 結尾。另一方面， 13211 以 1 起首，而之後的項也只能以 1 和 3 起首，絕不可 能是 2，因此它永遠不會與第一部分的字串混在一起 [1]。 每種「聽射性元素」都依照真實元素表上的首 92 種元 素被冠以一個名字，從氫到鈾（見表一）；11132 是鉿，而 13211 是錫。 [3]. In our original sequence starting from 1, these lengths are 1, 2, 2, 4, 6, 6, 8, 10, 14, 20, … which you can calculate for yourself gradually approximates toward a ratio of 1.303577… times the number of digits in the previous term [1]. Based on the proof of the Cosmological Theorem, some application of linear algebra can tell you that this ratio is a solution to some equation of degree at most 92 (i.e. the highest power of the unknown is x92) [3]. Conway and his colleagues then deduced that 1.303577… is actually the largest real root of a specif ic 71-degree polynomial so unnecessarily complex that we’re afraid to print it here [2]. Why does the answer to such a simple sequence involve monstrous decay chains, matr ices and 71-degree equations? We don’t know, but it shows how even the simplest quest ions can produce genuinely engaging mathematics if you know how to look for it. Mathematics is a sport; mathematicians love to challenge themselves. Challenge yourself enough, ask your questions in the right way, and l ike Aladdin’s cave the door to a whole world of interesting new insights will open.
RkJQdWJsaXNoZXIy NDk5Njg=