Piet Hein：「在文明社會的圖樣中有著兩種傾向，一種 是直線和矩形，另一種是曲線。無論在機械或心理上，我們 都有原因解釋這兩種傾向：直線構成的物件能被整齊地放 在一起，節省空間；我們亦可以 — 物理或心理上 — 輕鬆地 移動由曲線構成的東西。然而我們彷彿被束縛著一樣被迫 二擇其一，但有時採取兩者之間的形態卻會更好 [1]。」 畫一條線，隨意畫，你會發現那條線只能是直線或曲線。 把一條曲線延長，到某個位置它會閉合成圓。使兩條直線相 交，你會得到一隻角；把角度調得工整一點，你就會得一隻 直角。曲與直就像無處不在的兩股勢力，而在它們崛起的同 時數學家就已經著手研究兩者的差異。世上最著名、歷久不 衰的幾何教科書 — 歐幾里得的《幾何原本》在起首正是假 設我們無論如何都能畫出直線、直角和圓形。笛卡兒在代數 以現代形式出現後僅僅約一世紀，就提出了把幾何圖形和問 題轉化為代數的概念，統整了數學上這兩個主要範疇。這亦 是今天學校仍會教授笛卡兒坐標圖（就是以我們大家都熟 識的坐標系統所畫的圖）的原因。 在慣常的x-y平面上，直線的方程就是我們熟識的y = mx + c。線性方程，即是最高次項為x或y的方程永遠會 得出一條直線；二次方程，即是最高次項為 x2 或y2 的方程 則會得出其中一種圓錐曲線 — 圓形、橢圓、拋物線或雙曲 線 [1]。如果我們考慮橢圓的方程 x2/a2 + y2/b2 = 1，當a = b時就會變成大家都熟知的圓方程x2 + y2 = 1。在1818年， 這全都是數學家已知的事實。在一本於當年出版的幾何書 籍裡，Gabriel Lamé決定再進一步看看如果指數n變成 2以外的值時會發生甚麼事 [2]。 方程xn + yn = 1的曲線可以根據n被分成不同種類 [3]， 但當中最有趣的是當 n 為分數 p/q，且 p 為偶數，q 為奇數 而且大於1 時的曲線，這些分數包含了2、4、6、8 在內的所 有偶整數。 隨n增加成更大的偶整數，你可以看到圖形由n = 2時 的圓形變得越來越接近一個正方形（圖一）。透過取絕對值， 我們允許n為任何數；現在的Lamé曲線 |x|n + |y|n = 1在 n > 2的情況下，由n = 2時的圓形連續地變 成n趨向無限大極限時的正方形。Lamé曲 線的一般方程 |x/a|n + |y/b|n = 1也是如此， 取相同極限時會變成矩形。如果你從未聽過 正方形或長方形方程的話，恭喜你，你現在知 道了！ 感謝繪圖工具和代數提供的簡潔表達，我 們現在擁有可以被簡單描述，一個介乎正方形 和圓形之間的圖形。簡潔正是令這條形狀曖 昧的曲線突然被再次提起，並被採用於多 個意想不到的情境中的原因。以下是幾個 例子。 在1959 年，瑞典建築師想在斯德 哥爾摩市中心被建築物包圍的長方 形用地興建一座迴旋處 [4]。迴旋處 當然多數都以圓形設計，但圓形會 浪費大部分用地；使用橢圓形的話， 兩端的急彎會造成駕駛上的不便。 城市規劃師也提出過以八條弧組成 環形的方案，不過這會使車輛轉過 多不必要的彎。後來這道難題成為 了設計比賽的題目，引起了丹麥設計 師及科學家Piet Hein的注意。大會藉 著他的數學背景找到了這個橢圓形與矩 形之間的折衷辦法。Piet Hein無意中發現 Lamé 曲線，他嘗試把不同數值代入 n 去改造一個 寬度為6和高度為5（即a = 6、b = 5）的橢圓形，最 後決定採用n = 5/2或2.5（圖二）[5]，並稱這個圖形 為「超橢圓」。 Piet Hein認為這個形狀是最美麗而又可行的解決 圖一 n 增加時 Lamé 曲線的轉變（左至右分別為 n = 2 和 n = 4） 圖二 Piet Hein 提出的斯德哥爾摩迴旋處方案
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