亦即是循環裡的一次「do-re-mi-fa-sol-la-ti」。然後我們 可以藉等價八度的特性，將八度內的音符頻率乘或除以任 何二的次方數，以獲取更高或更低的八度。畢達哥拉斯還發 現當兩個音符的頻率比為 3:2，即是相隔一個「五度」時，同 時演奏這兩個音也會有非常悅耳的效果。因此，他決定音階 裡要儘可能包含最多的 3:2 和 2:1 比例，以便作曲家創作。 顯然，畢達哥拉斯當時應該無法得知每個音符的準確頻 率，因此調音可能只是透過聆聽音高來估計一個音與基準 音之間的相對距離來完成。然而，為了方便理解，讓我們從 現代角度揭示這古老的調律方法。 為了決定八度內每個音的頻率，畢達哥拉斯先從440 Hz的A音入手，將其頻率乘以3/2以獲得660 Hz這個音。 透過再乘以3/2，他得到990 Hz，但這超出了八度範圍（即 大於880 Hz），因此他將其除以二以獲得等價的495 Hz。 畢達哥拉斯重複這個乘以 3/2，然後如果得出頻率超過 880 Hz 則把其除以 2 的過程，直至得到一個由七個不等價音符 組成的音階為止，這音階足以演奏簡單旋律 [1]。他把這些 音按頻率順序排列，創造出一個與現代版本非常相似的音律 （表一）。 十二平均律 然而，畢氏音律中的七個音符僅僅足以演奏簡單旋律。 在檢視畢氏音律的不足之前，讓我們先了解現代的「十二平 均律」。這種音律將一個八度分為12個相等的音程。但要 注意的是，我們大腦是以頻率間的比例而非差異來判斷兩 個音之間的距離，因此音階中每個音符的頻率應具有指數關 係，每對相鄰音符之間的比例r滿足r12 = 2，即r = 21/12。 透過將起始頻率乘以比例r = 21/12 12 次，我們就可以獲得 八度內所有音符的頻率（表二）。 調性變換 那麼，為甚麼十二平均律比畢氏音律更受青睞呢？你可 能聽過一個音樂術語叫「轉調」，它在數學上是指將旋律中 每個音符的頻率乘以一個常數，這樣做的話人腦仍會將新 旋律視為與舊旋律相同，因為任何兩個相鄰音符之間的音 程（即頻率比）保持不變 [1]，例如一段由440 Hz、660 Hz 和733.3 Hz 音符組成的旋律聽起來與由550 Hz、825 Hz 和916.6 Hz組成的是同一個旋律。音樂中的調性變換為 音樂家提供表達情感的途徑：在樂曲中途轉換到更高調性 13 表一 畢氏音律中各音符的頻率以及它們與 A音頻率之比。數值四捨五入至最接近的整數。 表二 十二平均律中各音符的頻率以及它們與 A音頻率之比。數值四捨五入至最接近的整數。表中棕色方格的頻率在鋼琴中由黑 鍵演奏。 比例 1 9/8 81/64 4/3 3/2 27/16 243/128 2 頻率(Hz) 440 495 557 587 660 743 835 880 比例 1 21/12 22/12 23/12 24/12 25/12 26/12 頻率(Hz) 440 466 494 523 544 587 622 比例 27/12 28/12 29/12 210/12 211/12 2 頻率(Hz) 659 698 740 784 831 880
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