可以表達振奮和鼓舞，而降低調性則可以傳達悲傷 或平靜的感覺。此外，通過降低歌曲的調性，音域 較低的歌手也能夠演唱原本包含高音的歌曲。 了解調性變換的概念後，你會發現轉調能完 美地在十二平均律中執行，因為任何相鄰音符之間 的頻率比是一個常數 [1, 2]，譬如鋼琴手只需在以 十二平均律調音的鋼琴上將旋律中每個音符順移一 個鍵，就能完成調性變換，而鍵盤上有限數量的鍵 足以涵蓋調性變換所需的任何音符。 另一方面，畢氏音律中的七個音符並不足夠進 行調性變換，因為相鄰音符之間的頻率比並不恆 定，可以是9:8或256:243 [2]。我們必須延續畢達 哥拉斯的計算以創造出更多的音符，才能從任何音 符起進行調性變換。透過將他的計算擴展到第一 個八度之外，我們希望頻率會在某處返回起點的 440 Hz，這樣我們就不會製造出無限多的音符。然 而，這已被證明是不可能的，因為 (3/2)n 永遠不會 是二的次方數，因此我們需要製造無限多的黑鍵來 讓樂器進行調性變換，但這是不切實際的 [1]。雖 然畢達哥拉斯的計算在某處已非常接近所需的頻 率440 Hz，但仍存在一個被稱為「畢氏音差」的 小差距 [2]。這個略高於一的頻率比1.0136:1使 音樂家和數學家苦惱不已，直到十二平均律出現 為止（註二）。 發明十二平均律的歷史爭議 有個有趣巧合，就是十二平均律由中國數學家、 物理學家及音樂理論家朱載堉於1584 年提出，然 後在 1585至 1608 年間由佛蘭德數學家 Simon Stevin給予數學上的定義 [3]。對於二人當中是誰 發明了十二平均律，以及輾轉間二人到底是否得知 對方研究這件事至今仍然存在爭議 [3, 4]，但也許 我們永遠無法得知真相。 儘管如此，我們能從中學到的是今天我們視為 理所當然的任何事物，可能都是前人經過幾千年努 力所取得的成果，背後可能也有科學上的根據。從畢達哥拉 斯的早期研究到十二平均律的發明，數學家塑造了我們今 時今日所聆聽的音樂。因此下次當你唱「do-re-mi-fa-solla-ti」時，希望你能回想起這些熟悉音符背後的數學故事， 感慨音樂世界中的數學之美。 References 參考資料： [1] Formant. (2022, August 12). The Mathematical Problem with Music, and How to Solve It [Video]. YouTube. https:// www.youtube.com/watch?v=nK2jYk37Rlg [2] Benson, D. (2008, December 14). Music: A Mathematical Offering. Cambridge University Press. https://homepages. abdn.ac.uk/d.j.benson/pages/html/music.pdf [3] Yung, B. (1981). A Critical Study of Chu Tsai-yü's Contribution to the Theory of Equal Temperament in Chinese Music. By Kenneth Robinson. Additional Notes by Erich F. W. Altwein; Preface by Joseph Needham. Wiesbaden: Franz Steiner Verlag (Sinologica Coloniensia Band 9), 1980. x, 136 pp. Figures, Appendixes, Bibliography. N.p. The Journal of Asian Studies, 40(4), 775–776. [4] Kuttner, F. A. (1975). Prince Chu Tsai-Yü's life and work: A re-evaluation of his contribution to equal temperament theory. Ethnomusicology, 19(2), 163–206. [5] International Organization for Standardization. (1975). ISO 16:1975 Acoustics — Standard tuning frequency (Standard musical pitch). https://www.iso.org/ standard/3601.html 1 中音A：在C大調（音樂中最簡單的調之一），「do-re-mi-fa-sol-la-ti」分 別對應 C、D、E、F、G、A、B。作為樂器調音的標準音符，中音A 對應 C 大 調中的「la」。根據 ISO 16 標準，它的頻率應為 440 Hz，但某些管樂團有時 為了迎合管樂器會將它調成 442 Hz [5]。 2 編按：1.0136是由312 / 219 所得，即是升12次五度和降七次八度。
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