19 何與屈曲表面的法則相關呢？須知道有種曲率叫「高斯 曲率」，答案就在於一個與其相關的絕妙結果。 高斯曲率 讓我們討論如何描述一個表面的曲率。試想像一個三 維物體的表面，譬如紙張、球體、圓柱體、品客薯片，甚或 是甜甜圈。對於表面上的某一點，你會發現曲率會根據所 考慮的表面方向而有所不同。更具體的例子請看圖一的表 面，試找出圖表中心點（原點）的曲率。 根據我們所考慮的表面方向（紅或藍），我們會得出不 同曲率：紅色曲線兩側向上彎，而藍色曲線兩側向下彎。這 麼，在中心點上，我們可以說紅色曲線具有正曲率，而藍色 曲線具有負曲率（正負純粹取決於慣用定義）。此處要注 意的是即使這些曲線跨越整個表面，但我們只考慮中心點 的曲率。 我們稱之為「法曲率」— 即是在考慮穿過該點的某曲 線下，一個表面在該點的曲率（註二）。在我們的例子中， 該表面在朝紅色曲線的方向上具有正法曲率，而在朝藍色 曲線的方向上具有負法曲率。 現在想像一下，我們透過繪畫朝向每個可能方向的 所有曲線，來考慮某一點上的所有可能法曲率。在這些可 能性中，必然存在最大和最小法曲率（註三），將這兩個 曲率相乘便能得出高斯曲率。 讓我們看看圖二的三個例子。第一個表面在標記點上 具有正高斯曲率，因為最大和最小法曲率皆為正數，因此 它們的乘積也是正數。以相同道理推敲，可以得知其餘兩 個形狀分別具有零和負的高斯曲率。儘管還有其他方法可 以描述某一點上的表面曲率，例如平均曲率等，但只有高 斯曲率與我們的問題相關。 圖一 一個在中心點（原點）同時具有正（紅）和負（藍）法曲率的表 面（註一）。 圖二 高斯曲率是透過將表面上某一點的最大（藍）和最小（綠）法 曲率相乘所得。圖中三個表面在標記點上分別具有（甲）正、（乙） 零和（丙）負高斯曲率。 甲 乙 丙 絕妙定理 那麼，為甚麼高斯曲率重要呢？我們必須了解高斯所提 出的「Theorema Egregium」，這在拉丁語中解作「絕妙 定理」（remarkable theorem）。該定理指出，高斯曲率 是一個表面的內在本質，意味著只要不把表面拉長，單單 屈曲表面是不會令表面上每一點的高斯曲率改變。 為了理解這個概念，試想像將一張紙卷成圓柱狀。由於 在平坦紙張上各處的高斯曲率都是零（所有方向的法曲率 均為零），根據絕妙定理，我們知道圓柱上每一點的高斯曲 率也是零。事實上正如圖三所示，確實如此，因為每一點的 最小法曲率均是零，因此乘以零得出的積亦是零。 絕妙定理帶來的重要啟示是球體無法被完全攤平，因 為球體的高斯曲率為正，而平面的為零，所以我們無法在 沒有「拉伸」的情況下建立平面的世界地圖，故此世界地圖
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