測量海岸線 甚麼導致這些數據之間的差異？英國數學家Lewis Fry Richardson（1881–1953）曾經研究邊境長度與爆 發戰爭之間的關聯，但他亦對文獻中不一致的邊境長度 感到無所適從 [4]。他發現葡萄牙一方的資料報告其與西 班牙的邊境長度為1,214公里，而西班牙一方則聲稱長 度為987公里 [5]。這個差異及後延伸出「海岸線悖論」 的發現。 為甚麼對同一海岸線作的測量結果會有所不同？讓 我們先了解如何有系統地量度複雜形狀的長度。對於由 數學函數定義的光滑曲線（例如沒有角的曲線），我們可 以用微積分來計算其確實長度。然而，對於像海岸線那些 現實世界中參差不齊的非規則形狀，並沒有一條簡單公 式行得通。它們的複雜性需要有系統的方法來對付，例如 使用多條固定長度的線段來準確地估計長度，確保每次 量度都能得出一致的結果。 試想像一條光滑但看似隨意的曲線（圖一甲）。憑直 覺思考，我們似乎可以用一根線來模仿其形狀。儘管這是 一個準確的方法，但實際在電腦上並不能這樣操作。這 也不是有系統的方法，因為繩子的形狀取決於它的放置 方式，使每次量度結果不一致且難以重複，尤其當我們將 此方法應用於複雜如海岸線的形狀時。換個方法，我們可 以使用長度相等的直線段 — 姑且稱之為「小棒」 — 來 估計曲線長度，正如圖一乙和圖一丙就使用了不同長度 的小棒。我們將小棒的長度相加，以獲得曲線長度的近似 值。隨著我們選用更短的小棒，就可以期望近似值將變得 越發準確。在理想情況下，當每根小棒的長度足夠短時， 我們就可以對曲線長度作出非常精準的估計。 香港的海岸線有多長？以下是來自不同組織的答案： •美國中央情報局：733 公里 [1] •世界資源研究所：955 公里 [2] •香港環境保護署：1,178 公里 [3] ( 甲) ( 乙) ( 丙) 圖一 （甲）一條光滑但看似隨意的曲線。（乙及丙）分別使用兩款 長度相等的直線段來估計曲線長度。 可是，當人們用這個方法測量大不列顛島的海岸線 時，結果卻出人意表。使用較短的小棒會得出驚人的長 度：使用一米小棒時海岸線將超過15,000公里 [6]，這 比地球直徑（12,756公里）還要長 [7]！結果違反我們 對「更精細量度能帶來更準確結果」的預期，因此顯然地， 海岸線並不是一個尋常的形狀。 碎形 圖二甲展示了科赫雪花（Koch snowflake），一個 可以幫助我們理解上述悖論的圖形。圖二乙說明了解圖 形的構建方法： 1. 首先畫一條長度為1的直線段。 2. 將其分為三條等長的線段（因此每條線段的長度為 1/3），然後用等邊三角形的兩條邊替換中間的線段。 3. 對現有的每條線段執行第二步。 4. 透過無限次重複這個過程，您將能構建出科赫雪花 的頂部。要獲得完整形狀，只需要複製出三個副本 並將它們按三角形方式排列。 圖二 （甲）科赫雪花及（乙）如何透過一系列重複的步驟構建科 赫雪花。 9 n = 0 n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 n = 6 (甲) (乙)
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