光滑曲線被放大時形狀會變得簡單，但科赫雪花與光 滑曲線不同，它在每個比例下形狀始終保持複雜（圖三）。 進一步放大會顯現更多細節，而每個層次上的圖案都展 示出相似性，使其成為「碎形」。要計算其三條邊之中其 中一條的長度： •記得我們最初由一條長度為1的線段開始。 •下一回合產生出四條長度為1/3 的線段，使總長度為 4/3。 •第三回合將每條線段再變為四分，得出16條長度為 1/9的線，使總長度為16/9…… 如此類推，每回合的總長度構成了一個公比為 4/3 的 等比數列。由於公比大於一，長度將無限增大，因此科赫 雪花有無限長的周界。 像科赫雪花這樣具無限長度的曲線被稱為「不可求長 曲線」，它們無法像一條繩子般被「拉直」然後量度長度。 值得注意的是，許多著名的碎形均展示出「自相似 性」，意味著它們在不同縮放比例下看起來都相似，比 如曼德布洛特集合（Mandelbrot set）、朱利亞集合 （Julia set）、謝爾賓斯基三角形（Sierpinski triangle 或Sierpinski gasket）及謝爾賓斯基地毯（Sierpinski carpet）。 碎形維度 讓我們以直覺思考：我們對形狀的經驗告訴我們，任 何有界的一維物體（如線段）都有非零但有限的長度，且 其面積為零；有界的二維物體（如表面，例如一張紙）則 因為可以被視為由無數條線構成，所以具有無限「長度」， 而同時擁有非零但有限的面積。這樣的話，科赫雪花又 應該如何定位呢？如果我們把科赫雪花視為中空的形狀， 那麼它同時擁有無限周長但零面積這一點，就反映了其 維度介乎一和二之間。 這個直觀的想法讓我們萌生非整數維度的概念 — 碎形維度，它能描述幾何形狀的「複雜性」。 例如在找出科赫雪花的碎形維度之前，讓我們回顧 維度的定義：試想像一個邊長為1的二維正方形，我們 知道將其邊長乘二，會獲得4 = 22 個原來的正方形；乘 三就會獲得9 = 32 個原來的正方形，這正因為該正方形 是二維的。簡單來說，放大或縮小一個維度為d的形狀 時，若縮放因子為c，結果將會得出cd 個原來形狀的副 本（你可以嘗試用一條線或立方體來驗證這一點）。 現在讓我們檢視科赫雪花的頂部。根據雪花的構建 方法，將雪花放大為原來的三倍將得出四個原來形狀的 副本。因此，如果我們需要決定科赫雪花的維度d，那麼 根據上述推理，公式將變成4 = 3d，換言之d = log 4 / log 3。 那麼海岸線呢？嚴格來說，海岸線並不是碎形，因為 碎形是抽象的理論圖形，但海岸線具有碎形的部分特徵， 圖三 上圖展示（甲）光滑曲線被放大時幾乎簡化成一條直線，而 （乙）科赫雪花在每個比例下形狀始終保持複雜。 (甲) (乙)
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