Page 22 - Science Focus (Issue 017)

Hungry Mathematicians and

the Ham Sandwich

肚餓的數學家與他們的火腿三文治

題 解
數學家（十分）喜歡他們的食物。除了關於數字、函
數、圓形和三角形的定理 — 你有沒有想過原來也有定理 說到底，中間值定理到底跟把三文治切成兩等份有甚
是關於薄餅、馬鈴薯、蛋糕、餡餅，甜甜圈和三文治的？我 麼關係？要解決這個問題，原來我們要做的就是應用中間
們今天會探討其中一個問題，它是在 1930 年代提出的火 值定理。
腿三明治定理。 為了方便大家理解，我們可以先考慮二維的例子：一個
大家也許會為著應該把三文治切成三角形還是長方形 關於如何把兩塊平面熱香餅平分的問題。你可能已經學過，
而爭持不下；然而，讓我們暫且把美學方面的問題擱在一 一條線可以用它的斜率 tan(α)（α 是線跟正 x 軸之間相交
旁 — 試想想，當弟弟把你的火腿三文治咬了一角，又或者 的角度）和 y 軸截距 c 來描述。
裡面的火腿摺疊成某個奇怪的形狀？在任何奇怪的形狀下， 對於每一條斜率為 tan(α) 的線，無論 α 是任何值也好，
你還能把三文治分成兩等份以餵飽兩個餓得肚子打鼓的人嗎？ 我們總可以把它畫成能一條把第一塊熱香餅切成兩等份的
線。然後我們需要一個函數來完成我們的論證，最方便的
就是取第二塊熱香餅在線兩旁的面積百分比之差作為我們
我們的工具：中間值定理
的函數；線就好比我們的刀，取線的右邊，即從刀柄看去的
這聽起來可能不可思議，但是數學告訴我們無論三 右邊，把其設定為正。譬如說，你看到有 20% 的熱香餅在
文治的形狀如何不規則，我們都總有辦法只用一刀把 線的左邊，80% 在線的右邊，那麼我們函數的數值就會是
三文治分成兩等份。這結論是由微積分中「中間值定理 –20% + 80% = 60% 了。假如我們把 α 旋轉 180 度，函
（Intermediate Value Theorem/IVT）」所得出來的結果。 數數值的正負便會倒轉。所以我們可以發現有些 α 數值會
剛才我說了那個令人生畏的詞語，但請不要聽到「微」字就 讓函數變成負數（較多的熱香餅在左邊），有些則會讓函
逃跑！圖一能幫助你理解這個定理（見前頁）。 數變成正數（較多的熱香餅在右邊）。

我們關注的只是圖表中從 a 到 b 的部分，它們所對應 如果我們取一對正負相反的函數數值的話，利用中間
的函數值就是 f(a) 和 f(b)。簡單來說，中間值定理告訴你 值定理，我們可以推論出某個 α 的數值將會使 f = 0，亦即
a 跟 b 之間（x 軸）一定有著一個數字 c，它能產生 f(a) 和 是說有 50% 的熱香餅在線的左邊，亦有 50% 的熱香餅在
f(b) 之間（y 軸）的任何一個值 [2] 。 線的右邊；所以我們的兩塊熱香餅現在已經被一刀切成兩
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從圖像來看，中間值定理其實不難明白 — 我們可以把 半了！
曲線看成一座山。如果我們從海平面的高度開始爬上一座 現在讓我們返回原本的問題。為了方便理解，我們會把
200 米高的山，並一直爬到頂峰，在路途中的某個時候我 三文治分成三個部分：兩塊麵包和一塊火腿。剛才討論的
們一定會經過高度為海拔 100 米的一點。數學上頗為嚇人 熱香餅面積則成為了麵包或火腿體積，而代表切割的線亦
的細節我就不解釋了，但這就是中間值定理的基本概念，亦 變成了一塊二維的平面。
是我們在論證過程所需要的。
讓我們先考慮最上層的麵包。首先請注意到調整一把
一個要留意的地方是中間值定理只適用於連續函數， 刀的切面有三個方法：沿垂直軸平移（ p）和沿著兩個角度
即是中間不會「斷開」的函數。你看圖二就能夠理解了，你 旋轉，分別是沿著麵包表面（θ）和刀的傾斜角度（ϕ）。剛
不能找到一個數字 x 來對應 g(x) 為 0 至 1 之間的值，因 才在二維例子的推論亦可以應用於此，我們可以將兩塊麵
為這個函數在中間忽然「跳」了一下。