Page 24 - Science Focus (Issue 017)

包用上文提及方法處理，然後得出 p 和 θ。在繼續討論之
前，要留意的是 p 和 θ 都能寫成 ϕ 的函數：隨著 ϕ 數值的 Hungry Mathema ticians and
改變，p(ϕ) 和θ(ϕ) 也會相應地改變；然而根據上面的定義，
兩者都總能把兩塊麵包平分。 the Ham Sandwi ch

最後我們加上火腿。像上例一樣，我們取切面兩邊火腿
體積百分比之差作為我們的函數 f3(ϕ)，其變數是最後剩下 肚餓的數學家與他 們的火腿三文治
的傾斜角度 ϕ。當我們把 ϕ 旋轉 180 度，f3 的正負號便會
倒轉，這能提供正負各一的數值作為我們的邊界點。然後
根據中間值定理，我們知道確實存在某ϕ 值能使f3(ϕ) = 0。 的三個條件，所以我們能求到解。透過比較維度的數目
( 三個未知數，三個限制 ) ，我們可以亦解決這個問題。
綜合三個部分的結果，我們知道確實可以使三文治的三
個部分都平分成一半 — 這正是我們想要證明的結果！
火腿三明治定理
把以上的推論歸納一下，我就能得出火腿三明治定理本
有些讀者可能對於論證中變數的連續性有所懷疑。 身的描述：假設在 n 維空間中有 n 個物件，必定存在一
的確，中間值定理並不保證當中的連續性；所以比較準 個（n – 1）維的超平面 能同時把 n 個物件平分成一半。
3
確的證明是使用代數拓樸學中的著名的 Borsuk—Ulam 就我們的情景而言，我們考慮的是日常的三維空間 (n = 3)，
定理，它可以說是中間值定理的簡單歸納，但由於它涉 因此這個定理告訴我們的是：我們能用一個二維的平面把
及稍為艱深的數學，我暫且在此擱筆。如果你有足夠勇 三件物件平分，當中切割面是由我們的刀所產生的。
氣的話，請看下面是火腿三明治定理的另外一個證明： 根據這個描述，讓讓我們再看一看另外一個例子吧。小

Borsuk—Ulam 定理保證 f(ϕ) 在某個時候會等於 f(-ϕ) ， 斌很喜歡吃芝士，他把一塊芝士加到三文治中間。這動作
當中的負號代表我們的刀「反轉」（即旋轉 180 度） — 看起來好像並不會帶來甚麼影響，但這我們可能因此再不
所以這個關係成立的唯一一個情況就是當我們考慮的 能把三文治平分成兩半了。從火腿三文治定理的描述來看，
我們知道只有三樣物件，而不是四樣，能保證被一個二維平
那一層被切成一半的時候。因此，在分別寫出火腿和其 面平分。再想想看，我們能把刀控制的變項也只有三個。
中一塊麵包的體積差函數之後，我們便能直接宣稱存
最後你可能會問一個問題 — 到底我們應該怎樣把眼前
在某 p(θ, ϕ) s.t. f2(p) = f3(p) = 0，也就是我們考慮的兩層 的三明治切成一半呢？答案是：我也不知道！中間值定理只
被分成兩等份了。
告訴我們如此把三文治切成一半的方法存在，但它並沒有
提及切三文治的方法。換言之，如果你的三明治被弟弟咬了
一口的話，也許你應該再做一份三文治才跟你的朋友分享吧！
換個角度想想……
1 對於有數學天份的讀者，中間值定理的正式論述是：假設 f(x) 在a和b之間
如果上面的詳細證明已經令你看不下去的話，其實也 是連續的，若一個任意數γ滿足f(a) < γ < f(b) 或 f(b) < γ < f(a)，則存在一
可以把這個問題看成一個數數目的問題。三件立體的體 點c，而a < c < b，使f(c) = γ。[2]
積都由三個維度組成，稱作 x、y 和 z 軸，所以體積是一 2 有些讀者可能察覺到不是所有聯立三元方程也有解，譬如說很明顯地，
個包含三個變數的函數：長（x）、寬（y）和高（z）— 亦 x + y + z = 1、x + y + z = 2 及 x + y + z = 3 這組方程並沒有解。這純粹
是一個類比手法，而用中間值定理證明的話能保證一定是會有解的。
即是你要兼顧三個變數。當嘗試解聯立三元方程，而當
3 超平面：一個比環繞空間少一個維度的子空間；在我們關於平分火腿三文
中每個未知數都取決於其他未知數的時候，我們最多可 治的討論中，這個超平面是指普通的
以加上三個非重疊的條件來取得解 。這在邏輯上與我 二維平面。
２
們的問題很相似：要求到解的話，我們最多只能加上三
個條件；就我們的情況而言，把三個立體平分正是我們