References and further reading
參考和延伸閱讀
:
[1] Higham, T., Basell, L., Jacobi, R., Wood, R., Ramsey, C. R., Conard, N. J., (2012). Testing models for the beginnings of the Aurignacian
and the advent of figurative art and music: The radiocarbon chronology of Geißenklösterle.
Journal of Human Evolution
. Doi:10.1016/
j.jhevol.2012.03.003
根 據 這 些 計
算，6個音符能組織約
1.84 x 10
6
旋律，而10個音
符便能給人7.5 x 10
10
旋律！若旋律混合全音或八分音等
不同節奏表達，粗略估計，在2.6兆年都不愁沒有素材。
我們甚至還未提及和聲配置法，配器法，拍子等多元變
化。
然而即使旋律組合多不勝數，過往的歌曲多傾向特定
旋律。這可能是人類喜歡熟悉的節拍和旋律，又或是受現
有的旋律影響，而局限了我們的創作。總而言之，我們大
可放心，音樂在短期內都不會用盡。
21
排除C
’
–C
’
（同度音程）後，雙音符旋律共有二十
五組。
列出所有組合是繁瑣和耗時的任務；因此，我們
採用排列組合來尋找答案。如果我們只有兩個可選
擇的音符：C和D，而旋律也只有兩個音，我們會得到
4種可能的旋律：CC、CD、DC、和DD。如果我們有兩
個可選擇的音符和三音旋律，我們會得到8個不同的旋
律：CCC、CCD、CDC、CDD、DCC、DCD、DDC和DDD。
這兩種情況可以用2
2
=4和2
3
=8來表達（始音數
旋律數
）。在
更複雜的例子，我們的始音有13個，第二個音也是有13
個，如此類推。如果將旋律數設為n，那我們可以得到的旋
律組合有13 x 13 x 13 x ... x 13 = 13
n
個。若要排除重複
旋律，我們可以通過同樣的思維過程。重複旋律不含有C
音，所以我們擁有12個可選擇的始音，第二個音符也有12
個等等。我們可以得到12 x 12 x ... x 12 = 12
n
個旋律。所
以，我們可以得到13
n
-12
n
無重複的旋律。
我們可以輕而易舉地從上述得出任何旋律組合數。設
s為可用的音符數，就會得到s
n
– (s-1)
n
=s
n
[1-(1-1/s)
n
]。
