Page 26 - Science Focus (issue20)
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做會計，直到 1999 年才在新罕布什爾大學裡擔                                   如果 Maynard 能更早發表這個突破的話，登上報紙頭                      而不願意參與，因為參加者犯過的所有錯誤都會永久地被
                                                                        任講師​[2]。在他取得突破之前，幾乎沒有人聽                                條的一定會是他，畢竟 600 比 7000 萬是一個更令人驚嘆                       留在互聯網上；也有人指計劃進展速度之快令人不能花上
                                                                        過他的名字，這使他具開創性的研究結果更為                                   的上限數字。Maynard 的結果甚至比博學者計劃的更為準                         更長的時間反覆思考和消化結果，放慢步伐也許反而能得
                                                                        受人注目。此前，以及在其他數學家建基於他的                                  確，因此計劃的參與者開始把目光轉移到 Maynard 的新                         來更多成果 [10]。但問題是，在這速食文化通行的互聯網
                                                                        結果作出更多發現之前，數學家並不知道兩個質                                  方法，希望可以得到更大的突破，甚至一舉解決孿生質數猜                            世紀，博學者計劃會不會是數學研究未來的趨勢呢？
                                                                        數之間的差距（或間隙）最大可以有多大。不少                                  想的問題。
                                                                        人當然嘗試過著手解決這個問題，但是基本上                                                                                             這問題，也許要經過時間的洗禮才能解答。直到現
                                                                        都沒有進展。在 2013 年 4 月，張益唐出版了他                                 於是，他們決定延續上一個計劃，展開 Polymath8b。                     時，博學者計劃都在解決一些能夠分拆成許多細小部分
                                                                        的研究結果，論文裡指出在間隙小於 7000 萬之                               這次計劃亦邀請得 James​Maynard 參與，他們嘗試合力                      的數學問題，讓參與者可以分工完成不同部分，再把結
                                                                        下存在著無限多個質數。7000 萬是個很大的數                                把上限再次降低，可惜卻遇到其他阻力。最後，雖然他們只                            果整合。不過，孿生質數猜想的故事告訴了我們一件事：
                                                                        字，但至少是一個有限的數字。這個消息令數學                                  能把上限再降低一點，但這已經算是十分鼓舞的成績了。在                            突破可以來自大相逕庭的形式。從獨自與問題搏鬥數年
                                                                        界為之一振，在掀起了一輪關注後，計劃「博學者                                 張益唐發表結果後一年的 2014 年 4 月，上限數字止住了在                       的隱世數學家到大型數學智庫的光速突破，都能帶來各
                                                                        八號難題（Polymath8）」正式誕生。                                  246；在假設另一條關於質數分佈的 Elliott-Halberstam​                 種各樣的新發現。世界上還有很多數學問題等著大家去
                                                                                                                               猜想是正確的情況下，上限可以被降至 6（註二）[8,​9]。                        探索和解答，可能有朝一日，親愛的讀者，你將會是解
                                                                           博 學 者 計 劃 是 一 個 由 數 學 家 Timothy​                    可是，如果要證明孿生質數猜想，我們要把上限降至 2，                            決那些難題的其中一人呢！
                                                                        Gowers 創 立的大 型 數學合作 計劃，最初 在                            因此我們必須發明新的方法才能使問題有所進展。
                                                                        2009 年於其網誌展開 [3]，建立計劃的時候會                                  其實博學者計劃一直是數學研究裡面一個有趣的課題。                          1​ 猜想 ： 還沒有得到證明的數學論述；如果猜想得到證明就會變成定理。
                                                                    訂出研究的目標，然後由不同數學家在公開的網上                                     由於這是任何人都能參與的開源（open-sourced）計劃，                       2​ 題外話：相減之差為六的質數對在英文被稱為「sexy​primes（性感質數）」，
                                                                 討論中發表自己相關的研究結果，同心協力地使研究一                                      因此一切突破都來得很快，進展速度與通常只涉及幾個人                               就像孿生質數被稱為「twin​primes」一樣，名字由來是因為「sex」在拉丁
                                                              步一步向目標推進。每個計劃通常都由一位數學家作為主                                        的普通數學研究相比之下快得多。很多人曾經打過一個比                               文中是代表「六」的前綴。在中文，「sexy​primes」只是平平無其地被叫作「六質
                                                                                                                                                                                       數」，並沒有任何幽默感可言。
                                                              辦人，並以自己的網誌作為計劃的討論區，任何對問題有見                                       喻，說如果普通研究是喝水杯裡的水的話，那麼博學者計劃
                                                              解的人都可以在討論中貢獻自己的想法 [4]，成果通常都以
            有些數學問題是常人完全不能理解的，譬如黎曼猜想                                                                                            就好比嘗試從消防喉裡喝水，因為突破湧現的速度可謂前
        （Riemann​hypothesis）需要用到不少高等數學知識才                     筆名 D.H.J.​Polymath 投稿到學術期刊。Polymath8 是                           所未見。另一方面，也有一些人會因抗拒在公開討論區發言
        能解釋；可是也有些問題是十歲小孩也能明白的。著名的                             這個系列的第八個計劃，由可能是世界上最有名的數學家                                                                                                  References  參考資料：
        孿生質數猜想（Twin​Prime​Conjecture；註一）絕對能                   陶哲軒在 2013 年 6 月展開 [5]，計劃的目標是希望能夠對                                                                                          [1] Caldwell, C. K. (2021). The Largest Known Primes --
                                                                                                                                                                                           A Summary. Retrieved from https://primes.utm.edu/
        被歸類為後者。它由 Alphonse​de​Polignac​在 19 世紀                張益唐的研究結果加以改善，得出一個更準確的質數間隙。                                           像以往一樣，就以一道小小的挑戰題完結本文，今次的問                               largest.html
        提出，指世界上存在著無限多對相減之差為二的質數，而                             不少數學家都參與了這次計劃，當中喜訊一個接一個，間隙                                           題與質數有關​[11]：​                                         [2] Wilkinson, A. (2015, February 2). The Pursuit of
                                                                                                                                                                                           Beauty. The New Yorker. Retrieved from https://www.
        這些質數因此被稱為「孿生」質數（twin​primes），例如                       一天比一天減少，在 2013 年 7 月 Polymath8 暫時完結時                                 設 n 為大於或等於 4 的整數。                                       newyorker.com/magazine/2015/02/02/pursuit-beauty
        3 和 5 是一對孿生質數，71 和 73 也是。當數字越來越大，                     已經降到 4680​[6]。                                                       我們的目標是把數字 1,​2,​…,​n​排成一個圓圈，令所有相                      [3] Gowers, W. T. (2009, March 24). Can Polymath be
                                                                                                                                                                                           scaled up [Web log post]? Retrieved from https://
        質數出現的頻率越來越低。即使如此，我們也能找到一些                                                                                                  鄰的數字加起來都是一個質數。譬如 n​=​4 的話，我們可                           gowers.wordpress.com/2009/03/24/can-polymath-be-
                                                                                                                                   以用 (1,​2,​3,​4)​這個組合：
                                                                                                                                                                                           scaled-up/
        大得驚人的孿生質數 [1]，現時紀錄是一對在十進制下有                                                                                                                                                      [4] Kalai, G. (2021, January 12). Proposals for polymath
        著 388,342 位的質數 2996863034895​×​2       1290000 ​–​1 和                                                                                                                              projects. Retrieved from https://mathoverflow.net/
                                                                                                                                                                                           questions/219638/proposals-for-polymath-projects
        2996863034895​×​2   1290000 ​+​1。這不禁讓人猜想數字裡                                                                                                                                      [5] Tao, T. (2014). Polymath8 | What’s New [Web log post].
        面可能包括無限對孿生質數，即是無論我們找到的孿生質                                                                                                                                                          Retrieved from https://terrytao.wordpress.com/tag/
        數有多大，都總有一對會比它們大。                                                                                                                                                                   polymath8/
                                                                                                                                                                                         [6] Polymath, D. H. J. (2014). New equidistribution
                                                                                                                                                                                           estimates of Zhang type. Algebra & Number Theory,
            這猜想本身其實也沒什麼好說的，但是比較有趣的是                                                                                                                                                        8(9), 2067-2199. doi:10.2140/ant.2014.8.2067
        近年在這個問題上作出突破所用的方法。大家對數學研                                                                                                                                                         [7] Maynard, J. (2019). Gaps between primes. ArXiv.
                                                                                                                                                                                           arXiv:1910.13450 [math.NT]
        究的印象可能是一位數學家坐在房間裡獨自與問題搏鬥，                                                                                                                                                        [8] Polymath, D. H. J. (2014). Variants of the Selberg sieve,
        一直把自己鎖在房間裡直至找到解決方法為止。對孿生                                                                                                   可是，如果 n 是單數的話，排列就會變得不可行。為什麼？                            and bounded intervals containing many primes.
                                                                                                                                                                                           Research in the Mathematical Sciences, 1. doi:10.1186/
        質數提出突破性理論的兩位數學家​ —​ 張益唐和 James​                                                                                            （加分題：如果 n​+​1 和 n​+​3 為孿生質數，你可以就數                       s40687-014-0012-7
        Maynard 的確都是分別獨自進行研究，可是 另一方面                                                                                               字 n​寫出一個排列方法嗎？）                                       [9] Polymath Project. (2014). Bounded gaps between
        的突破則來自一個公開的大型合作計劃​ —​ 博學者計劃                                                                                                                                                        primes - Polymath Wiki. Retrieved from https://asone.
                                                                                                                                                                                           ai/polymath/index.php?title=Bounded_gaps_
        （Polymath​Project）。                                                                                                                                                                between_primes
                                                                                                                                                                                         [10] Polymath, D. H. J. (2014). The "bounded gaps
                                                                                                                                                                                           between primes" Polymath project - a retrospective.
            張益唐的人生故事絕對值得拍成一部電影。他在中國                                                                                                                                                        ArXiv. arXiv:1409.8361 [math.HO]
        出生，文革期間和母親被送到勞改營，使其教育中斷長達八                                更戲劇化的是，在同年 11 月，現時為牛津大學教授的                                                                                             [11] Massachusetts Institute of Technology. (2020).
                                                                                                                                                                                           PRIMES Math Problem Set: Solutions. Retrieved from
        年 [2]。他之後到了美國念研究院，可惜最後和導師不歡而                          James​Maynard 取得了新的突破。他當時只是剛完成博士                                                                                             https://math.mit.edu/research/highschool/primes/
        散。畢業後，張益唐在學術界找不到工作，結果到處做著零                            課程不久，在完全沒有和張益唐或博學者計劃合作的情況下                                                           Solution 答案                             materials/2020/entpro20sol.pdf
        零散散的工作，包括曾經在朋友開的 Subway 三文治店裡                         使用了一個截然不同的方法得出了 600​這個最大間隙 [7]。

                                                                                                                                                                                                                                       25
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