Page 27 - Science Focus (issue20)
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做會計，直到 1999 年才在新罕布什爾大學裡擔  如果 Maynard 能更早發表這個突破的話，登上報紙頭       而不願意參與，因為參加者犯過的所有錯誤都會永久地被
 任講師​[2]。在他取得突破之前，幾乎沒有人聽  條的一定會是他，畢竟 600 比 7000 萬是一個更令人驚嘆     留在互聯網上；也有人指計劃進展速度之快令人不能花上
 過他的名字，這使他具開創性的研究結果更為  的上限數字。Maynard 的結果甚至比博學者計劃的更為準          更長的時間反覆思考和消化結果，放慢步伐也許反而能得
 受人注目。此前，以及在其他數學家建基於他的  確，因此計劃的參與者開始把目光轉移到 Maynard 的新         來更多成果 [10]。但問題是，在這速食文化通行的互聯網
 結果作出更多發現之前，數學家並不知道兩個質  方法，希望可以得到更大的突破，甚至一舉解決孿生質數猜            世紀，博學者計劃會不會是數學研究未來的趨勢呢？
 數之間的差距（或間隙）最大可以有多大。不少  想的問題。
 人當然嘗試過著手解決這個問題，但是基本上                                             這問題，也許要經過時間的洗禮才能解答。直到現
 都沒有進展。在 2013 年 4 月，張益唐出版了他  於是，他們決定延續上一個計劃，展開 Polymath8b。    時，博學者計劃都在解決一些能夠分拆成許多細小部分
 的研究結果，論文裡指出在間隙小於 7000 萬之  這次計劃亦邀請得 James​Maynard 參與，他們嘗試合力   的數學問題，讓參與者可以分工完成不同部分，再把結
 下存在著無限多個質數。7000 萬是個很大的數  把上限再次降低，可惜卻遇到其他阻力。最後，雖然他們只          果整合。不過，孿生質數猜想的故事告訴了我們一件事：
 字，但至少是一個有限的數字。這個消息令數學  能把上限再降低一點，但這已經算是十分鼓舞的成績了。在            突破可以來自大相逕庭的形式。從獨自與問題搏鬥數年
 界為之一振，在掀起了一輪關注後，計劃「博學者  張益唐發表結果後一年的 2014 年 4 月，上限數字止住了在      的隱世數學家到大型數學智庫的光速突破，都能帶來各
 八號難題（Polymath8）」正式誕生。  246；在假設另一條關於質數分佈的 Elliott-Halberstam​  種各樣的新發現。世界上還有很多數學問題等著大家去
        猜想是正確的情況下，上限可以被降至 6（註二）[8,​9]。                        探索和解答，可能有朝一日，親愛的讀者，你將會是解
 博 學 者 計 劃 是 一 個 由 數 學 家 Timothy​  可是，如果要證明孿生質數猜想，我們要把上限降至 2，  決那些難題的其中一人呢！
 Gowers 創 立的大 型 數學合作 計劃，最初 在  因此我們必須發明新的方法才能使問題有所進展。
 2009 年於其網誌展開 [3]，建立計劃的時候會  其實博學者計劃一直是數學研究裡面一個有趣的課題。          1​ 猜想 ： 還沒有得到證明的數學論述；如果猜想得到證明就會變成定理。
 訂出研究的目標，然後由不同數學家在公開的網上  由於這是任何人都能參與的開源（open-sourced）計劃，      2​ 題外話：相減之差為六的質數對在英文被稱為「sexy​primes（性感質數）」，
 討論中發表自己相關的研究結果，同心協力地使研究一  因此一切突破都來得很快，進展速度與通常只涉及幾個人            就像孿生質數被稱為「twin​primes」一樣，名字由來是因為「sex」在拉丁
 步一步向目標推進。每個計劃通常都由一位數學家作為主  的普通數學研究相比之下快得多。很多人曾經打過一個比           文中是代表「六」的前綴。在中文，「sexy​primes」只是平平無其地被叫作「六質
                                                                數」，並沒有任何幽默感可言。
 辦人，並以自己的網誌作為計劃的討論區，任何對問題有見  喻，說如果普通研究是喝水杯裡的水的話，那麼博學者計劃
 解的人都可以在討論中貢獻自己的想法 [4]，成果通常都以
 有些數學問題是常人完全不能理解的，譬如黎曼猜想  就好比嘗試從消防喉裡喝水，因為突破湧現的速度可謂前
 （Riemann​hypothesis）需要用到不少高等數學知識才  筆名 D.H.J.​Polymath 投稿到學術期刊。Polymath8 是  所未見。另一方面，也有一些人會因抗拒在公開討論區發言
 能解釋；可是也有些問題是十歲小孩也能明白的。著名的  這個系列的第八個計劃，由可能是世界上最有名的數學家             References  參考資料：
 孿生質數猜想（Twin​Prime​Conjecture；註一）絕對能  陶哲軒在 2013 年 6 月展開 [5]，計劃的目標是希望能夠對  [1] Caldwell, C. K. (2021). The Largest Known Primes --
                                                                    A Summary. Retrieved from https://primes.utm.edu/
 被歸類為後者。它由 Alphonse​de​Polignac​在 19 世紀  張益唐的研究結果加以改善，得出一個更準確的質數間隙。  像以往一樣，就以一道小小的挑戰題完結本文，今次的問  largest.html
 提出，指世界上存在著無限多對相減之差為二的質數，而  不少數學家都參與了這次計劃，當中喜訊一個接一個，間隙  題與質數有關​[11]：​  [2] Wilkinson, A. (2015, February 2). The Pursuit of
                                                                    Beauty. The New Yorker. Retrieved from https://www.
 這些質數因此被稱為「孿生」質數（twin​primes），例如  一天比一天減少，在 2013 年 7 月 Polymath8 暫時完結時  設 n 為大於或等於 4 的整數。  newyorker.com/magazine/2015/02/02/pursuit-beauty
 3 和 5 是一對孿生質數，71 和 73 也是。當數字越來越大，  已經降到 4680​[6]。  我們的目標是把數字 1,​2,​…,​n​排成一個圓圈，令所有相  [3] Gowers, W. T. (2009, March 24). Can Polymath be
                                                                    scaled up [Web log post]? Retrieved from https://
 質數出現的頻率越來越低。即使如此，我們也能找到一些  鄰的數字加起來都是一個質數。譬如 n​=​4 的話，我們可           gowers.wordpress.com/2009/03/24/can-polymath-be-
            以用 (1,​2,​3,​4)​這個組合：
                                                                    scaled-up/
 大得驚人的孿生質數 [1]，現時紀錄是一對在十進制下有                                      [4] Kalai, G. (2021, January 12). Proposals for polymath
 著 388,342 位的質數 2996863034895​×​2 1290000 ​–​1 和                    projects. Retrieved from https://mathoverflow.net/
                                                                    questions/219638/proposals-for-polymath-projects
 2996863034895​×​2 1290000 ​+​1。這不禁讓人猜想數字裡                        [5] Tao, T. (2014). Polymath8 | What’s New [Web log post].
 面可能包括無限對孿生質數，即是無論我們找到的孿生質                                          Retrieved from https://terrytao.wordpress.com/tag/
 數有多大，都總有一對會比它們大。                                                   polymath8/
                                                                  [6] Polymath, D. H. J. (2014). New equidistribution
                                                                    estimates of Zhang type. Algebra & Number Theory,
 這猜想本身其實也沒什麼好說的，但是比較有趣的是                                            8(9), 2067-2199. doi:10.2140/ant.2014.8.2067
 近年在這個問題上作出突破所用的方法。大家對數學研                                         [7] Maynard, J. (2019). Gaps between primes. ArXiv.
                                                                    arXiv:1910.13450 [math.NT]
 究的印象可能是一位數學家坐在房間裡獨自與問題搏鬥，                                        [8] Polymath, D. H. J. (2014). Variants of the Selberg sieve,
 一直把自己鎖在房間裡直至找到解決方法為止。對孿生  可是，如果 n 是單數的話，排列就會變得不可行。為什麼？             and bounded intervals containing many primes.
                                                                    Research in the Mathematical Sciences, 1. doi:10.1186/
 質數提出突破性理論的兩位數學家​ —​ 張益唐和 James​  （加分題：如果 n​+​1 和 n​+​3 為孿生質數，你可以就數  s40687-014-0012-7
 Maynard 的確都是分別獨自進行研究，可是 另一方面  字 n​寫出一個排列方法嗎？）                    [9] Polymath Project. (2014). Bounded gaps between
 的突破則來自一個公開的大型合作計劃​ —​ 博學者計劃                                        primes - Polymath Wiki. Retrieved from https://asone.
                                                                    ai/polymath/index.php?title=Bounded_gaps_
 （Polymath​Project）。                                                between_primes
                                                                  [10] Polymath, D. H. J. (2014). The "bounded gaps
                                                                    between primes" Polymath project - a retrospective.
 張益唐的人生故事絕對值得拍成一部電影。他在中國                                            ArXiv. arXiv:1409.8361 [math.HO]
 出生，文革期間和母親被送到勞改營，使其教育中斷長達八  更戲劇化的是，在同年 11 月，現時為牛津大學教授的           [11] Massachusetts Institute of Technology. (2020).
                                                                    PRIMES Math Problem Set: Solutions. Retrieved from
 年 [2]。他之後到了美國念研究院，可惜最後和導師不歡而  James​Maynard 取得了新的突破。他當時只是剛完成博士     https://math.mit.edu/research/highschool/primes/
 散。畢業後，張益唐在學術界找不到工作，結果到處做著零  課程不久，在完全沒有和張益唐或博學者計劃合作的情況下  Solution 答案  materials/2020/entpro20sol.pdf
 零散散的工作，包括曾經在朋友開的 Subway 三文治店裡  使用了一個截然不同的方法得出了 600​這個最大間隙 [7]。

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