References
參考資料
[1] Diaconis, P., Homes, S., Montgomery, R. Dynamical Bias in the Coin Toss. Stanford Statweb. Retrieved from
.
edu/~susan/papers/headswithJ.pdf
[2] Is A Coin Toss Really Fair? (2015) Retrieved from
[3] Can A Computer Generate A Truly Random Number? (2011) Retrieved from h
-
truly-random-number
擲幣結果
非隨機？
manne r i n wh i ch i t
is tossed and received. They concluded
these limitations infer that the classical
as sumpt i on that a co i n f l i p has the
statistical probability of ½ for landing on
either side still holds true. Hence, in order to
enhance fairness in a coin toss, one should
be blind to the initial condition of the coin, by
tossing it right out of the pocket or shaking the
coin between cupped hands before tossing, for
example. Moreover, the non-flipper should call the
coin toss while the coin is in the air, so it is pointless if
the flipper tries to flip in his favour.
擲
硬幣的記載最早可以追溯到羅馬時代，當時相信
結果可以彰顯神的旨意。今日不再那麼認真看待擲幣，但以
這方法裁決或調停爭議，仍然被視為是最公正的。有不少
運動以擲幣來決定隊伍的角色，或在和局的情況下選出勝
方。可是，擲幣結果是否真正隨機呢？統計學家和前職業魔
術師佩爾西·戴康尼斯對此非常感興趣。
戴康尼斯和他的同僚就此進行了一些簡單的實驗，例如
在硬幣附上絲帶，擲出之後再鬆開纏著硬幣的絲帶，由此得
出硬幣旋轉的圈數。為了確保每次擲幣的起始條件一致，沒
有差異，研究人員設計了一部擲幣機，由棘輪帶動的彈簧擲
出硬幣。另外，他們還動用了高速攝影機，為每一次擲幣拍
攝了100幀二維圖像。通過分析這些圖像，他們可以準確計
算硬幣在空中翻轉的方向和角度 [1]。
他們發現，在相同情況之下擲幣，結果其實不會變。這
意味著擲幣的不可預測性很有可能是出自人為的不一致。
此外，經人手擲出硬幣，結果會稍為偏向擲出的一面，概率
達51%。也就是說，硬幣擲出時是頭像向上，結果頭像向上
的機會也會稍高。如果在平面上旋轉硬幣，較重的一面朝下
的機會較高 [2]。有些魔術師和賭徒便是利用這些偏差來控
制擲幣結果。只
要對準硬幣正中
心用力，讓角動量向
量垂直於硬幣，拋出的
硬幣就不會旋轉，以同一面降落。他們也
可以利用邊緣稍被磨製的硬幣來達到同
樣的效果 [1]。
實際上，即使「
隨機亂數產生
器」也並非完全
隨機。麻省理工學
院計算機科學及工
程教授史蒂夫·禾特指
出，電腦遵循特定的規則和演算法，按確定性程式運作，對
相同的問題只能提供同樣的答案 [3]。這些被稱為「偽隨機
數生成器」(PRNGs) 的演算法，接收稱為種子的原始數字，
然後產生一連串看似隨機的數字。只要知道原始數字，就可
以複製出這串「隨機」數字。相對於此，自然界中反倒有不
少真正隨機的現象，例如可在短時間內測量的放射性衰變
和宇宙背景輻射。
不過，戴康尼斯團隊的實驗並未能考慮所有因素。人手
拋擲硬幣可以有多方面的變化，包括：高度、投擲速度和拋
接方式。因此他們認為傳統的假設依然成立：擲幣得正反
面的統計概率各有一半。如果希望有公平公正的結果，擲幣
一方就不要在事前知道硬幣的正反面，直接從口袋裡拋出；
或者拋出之前，先以雙手覆蓋並加以搖晃。另一方也可以在
硬幣拋出後才作出選擇，擲硬幣者就無從按自身利益操縱
結果。
21
