Page 5 - Science Focus (Issue 016)
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根號 2 —





        探求真理的代價                                               By Jack Long 龍眾








            我們的生活離不開數字，尤其是整數。「我今天上                            進而直接動搖了其學說對於世上萬物解釋的哲學根基。畢
        了 3 堂課。」「蘋果 15 元 2 公斤。」這樣一來 1 公斤蘋果就                   達哥拉斯因此命令希帕索斯要對此保密。然而，欣喜若狂的
        是 7.5 元，或者說 15/2 元。這種以兩個整數的比例來表示                      希帕索斯還是把事情洩露了 — 想像如果一個物理系學生
        的數就是有理數。研究表明，整數和有理數其實起源於日                             能嚴謹地證明愛因斯坦是錯的一樣（數學上只有嚴謹的證
        常的數數行為。它們只是我們祖先發明的一些符號，於數千                            明是重要的），他根本不可能不告訴別人如此具突破性的發
        年前用來記錄物件的數量。                                          現。當畢達哥拉斯知道希帕索斯把這一結論告知了數位好
                                                              友的時候，他勃然大怒。一般相信希帕索斯因而被判處死刑，
            公元前五世紀左右，在古希臘，一位名叫畢達哥拉斯                           並在一次出海時被扔進海中溺死 [1-4]。
        （Pythagoras of Samos）的著名數學家兼哲學家創立了
        自己的學派 — 畢達哥拉斯學派。受到宗教以及日常經驗                                可是這次謀殺並未使風波平息。畢達哥拉斯去世後不
        的影響，他的理論指出世間的萬事萬物無不由自然數組成，                            久，無理數的概念迅速地在數學界萌芽。不止是希臘，印度
        而比例則可以用於表達任何兩樣物件之間的關係 — 從日                            的數學家們在數十年後也發現並宣告了無理數的存在。公
        月流轉的規律，到音符的排列 [1]。現代學者相信，畢達哥                          元前三世紀，人類歷史上其中一位重要的數學家歐幾裡得
        拉斯學派的想法很可能是基於有理數的數量是無限這一事                             (Euclid) 給出了根號 2 不是有理數的嚴謹證明，這一證明
        實得出的。因此，他假設數量如此繁多的有理數足以描述                             亦被認為是最早以現代數學來證實這結果的正式證明 [1]。
        整個世界，其實也不無道理 [2]。                                     在此之後，越來越多的無理數陸續被發現，然後被小心地研
                                                              究。類似圓周率 π 和自然對數底 e 這些重要的無理數，在
            然而質 疑 聲很快出現了。他門下一 位名叫希帕索斯                         現代數學研究中都扮演著舉足輕重的角色。
        （Hippasus of Metapotum）的學生注意到，如果一個正
        方形的邊長為 1，其對角線的長度似乎並不能被表示為由兩                               儘管希帕索斯證明中的細節已經被淹沒在歷史中，科學
        個整數組成的比例。根據畢達哥拉斯定理（即畢氏定理），                            家們仍然認為希帕索斯是第一個發現無理數存在的人。他
        這個長度應該等於根號 2。可不管希帕索斯如何嘗試，他都                           令人敬佩的不光是其學術成果，還有的是好奇心、毅力和勇
        無法將這個數字表示為由整數組成的比例 [3]。這是第一次                          於質疑權威的精神。這些難能可貴的素質也正是數學的靈
        有人意識到畢達哥拉斯可能是錯的。希帕索斯沒有就此放                             魂。反觀畢達哥拉斯，一方面，數學家們很感謝他闡釋了整
        棄這個棘手的數；相反地，他決定大膽地嘗試證明根號 2 這                          個有理數的系統，而且對數學的不同領
        個數不能被表示成任何兩個整數組成的比例。                                  域都帶來了著名的學術理論；然而他
                                                              的傲慢、迂腐以及羞於
            儘管他證明中的細節難以被考證，絕大多數當代數學家
                                                              承認錯誤的態度也被
        都相信希帕索斯成功了。這個難度不大的證明如今已是大多                            認為是對作為數學家，
        數數學系本科生的必修內容。然而在當時，這一成果對畢達                            以及其他領域科學家百
        哥拉斯和他的忠實信徒們來說卻好像晴空霹靂。這發現不                             害而無一利的致命傷。
        旦在數學上推翻了畢達哥拉斯「萬物皆（有理）數」的理論，



        References  參考資料：
        [1] Gaskin, D. (1999). An Ancient Mathematical Crisis. Retrieved from https://denisegaskins.com/2008/05/27/
           ancient-mathematical-crisis/
        [2] Taylor, P. (2014). Discovery of Irrational Numbers. Retrieved from
           https://brilliant.org/discussions/thread/discovery-of-irrational-numbers/
        [3] Gupta, H. (2017). How Were Irrational Numbers Discovered? Retrieved from https://www.scienceabc.com/
           pure-sciences/how-irrational-numbers-discovered-mathematician-killed-hippasus.html
        [4] Esoterx. (2014). Murder by Math: The Irrational Demise of Hippasus. Retrieved from https://esoterx.
           com/2014/12/03/murder-by-math-the-irrational-demise-of-hippasus/
                                                                                                                3
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