By Thomas Lee
李浩賢
to change your original choice, the chance of
winning the grand prize remains at 1/3 – regardless
of which box the host opens. However, if you
decide to switch from your original choice to the
remaining unopened box, you end up increasing
your chances of obtaining the car.
From
diagram 1
, there are three choices: A, B
and C. Suppose you choose box A and the host
opens up box C. What is the probability that the
grand prize is in box A
given
that the host opened
box C, versus the probability that the grand prize is
in box B
given
that the host opened box C?
試
想像在遊戲節目中，主持人給你三個箱子。當中
一個藏有名貴房車，另外兩個裝著兩頭羊。你隨機選擇一
個箱子，可以得到內藏的獎品，不過主持人不會即時告訴你
箱子內是什麼，而是打開另外兩個箱子中的一個，露出了一
頭羊。主持人繼續問：「你會否用你選擇的箱子換取未開的
箱子？」
這個情景改編自著名的數學遊戲：三門遊戲（或蒙提霍
爾問題）。故事不難理解，但答案卻是有點違反直覺。你可
能會糾纏在交換還是堅持原來的選擇，同時，你會考慮哪
個決定有較大勝數。在七十年代當一本雜誌發表三門遊戲
時，大多數讀者認為交換及堅持沒有任何分別，因為兩者
贏取大獎的機會都是一半。儘管從直觀上看似合理，在統
計角度而言卻不正確。
數學告訴我們如果換掉當初的選擇，你有雙倍機會贏
得大獎，但必須滿足以下三個條件[1]：
（1）主持人不會打開你最初的選擇；
（2）主持人打開的箱子必定裝著羊（我們假設主持人
原本便知道箱子內藏著什麼）；
（3）若你最初的選擇是大奬，主持人便會隨機打開其
中一個未開的箱子。
開始時你被要求挑選一個箱子。在這個情況下你獲得
房車的概率是1/3，選擇羊的概率為2/3。若你堅持最初的
選擇，獲得大獎的機率仍然是1/3。但是，如果你決定換掉
原本的選擇，獲勝的概率是2/3，你有雙重機會獲得房車！
不相信？
圖1
顯示有三種選擇：A、B和C。假設你選擇A
而主持人打開C，大奬在A的概率相對於大奬在B的概率是
甚麼？
反直覺的統計學
Problem
y
Diagram
1
圖
1
References
[1] Rosenhouse, J. The Monty Hall
Problem: The Remarkable Story of
Math’s Most Contentious Brainteaser
(Oxford University Press, 2009).
[2] Chow, C. Monty Hall and Bayes.
Retrieved from
https://sciencehouse.
hall-and-bayes/
[3] Herbranson, W. T., Schroeder, J. Are
birds smarter than mathematicians?
Pigeons (
Columbia livia
) perform
optimally on a version of the
Monty Hall Dilemma.
Journal of
comparative psychology
(2010).
17
根據數學課文憑試課程剛要，本文或可作為有用的補充讀物。
